Трапеция – четырехугольная фигура, имеющая всего одну пару параллельных сторон. Их называют основаниями. Непараллельные – боковыми сторонами. Иногда трапецию определяют, как четырехугольник с противолежащими параллельными сторонами, без уточнения о двух других сторонах, поэтому в частных случаях трапецией является и параллелограмм.


Виды и элементы трапеции

Различают три вида трапеции:

1. Равнобедренная – с равными боковыми сторонами.
   
   
2. Прямоугольная – угол одного угла у основания является прямым (90 градусов).
   
   
3. Разносторонняя – с боковыми сторонами разной длины. Если из любой точки основания опустить перпендикуляр к другому основанию, то полученная прямая будет являться высотой трапеции. Зная длину обоих оснований и высоту, можно вычислить площадь трапеции. Еще один элемент трапеции – ее средняя линия. Ею называется отрезок, соединяющий серединные точки боковых сторон. При известном значении средней линии, тоже можно узнать площадь трапеции.

Вычисление площади трапеции

Формула, описывающая как найти площадь трапеции, гласит, что для этого необходимо вычислить произведение половины суммы высоты и оснований. То есть, приняв величину одного основания за А ,второго–за В, высоту– за Н, имеем: S (площадь)=((А+В)/2) х Н.

Если величины оснований не известны, но известна длина средней линии и высота, то площадь фигуры будет равна произведению высоты и средней линии. Например, отрезок соединяет середины двух непараллельных сторон в точках К и М. Формула будет выглядеть, как: S=КМ х Н.

Другие элементы трапеции также могут помочь при вычислении ее площади. Зная размер диагоналей (d1 и d2) и величину угла между ними, можно вычислить площадь по формуле:(d1хd2 х sin α)/2.

Все эти формулы справедливы для трапеции любого вида.

Особенности равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция обладает рядом свойств, отличающих ее от прямоугольной и разносторонней.

1. Оба угла, прилагающие к меньшему основанию, и оба угла, прилегающие к большему, - равны.

2. Длины диагоналей в равнобедренной трапеции равны.

3. Если провести перпендикуляр из вершины наибольшее основание (высоту), она разделит его на отрезки, первый из которых будет равен половине разности оснований (а – b)/2, а второй – половине сумме оснований(а + b) / 2.

4. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны (как в ромбе), то можно узнать высоту по формуле: Н= (а+ b )/ 2, тоесть она составляет половину суммы оснований.

5. Если через середины оснований трапеции провести прямую, то она будет являться осью симметрии этой геометрической фигуры.

6. Доказать, что трапеция является равнобедренной можно с помощью круга. Если в нее можно вписать окружность, а также описать вокруг нее, то такая трапеция считается равнобедренной.

Площадь равнобедренной трапеции

Но если речь идет строго о равнобедренной трапеции, ток ней применимы формулы, которые не подходят для нахождения площади разносторонней или прямоугольной трапеций.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно, вписав в нее окружность. В таком случае площадь вычисляем по формуле S =4R2 / sin α.R– радиус окружности, вписанной в трапецию. α–величина угла при основании.

Если угол равен 30 градусам, то формула будет выглядеть так: S = 8R2.

Если требуется узнать площадь равнобедренной трапеции, когда известны размеры всех сторон, используется формула:

Здесь: а и b означают основания фигуры, а c и d – ее боковые стороны.

Так как часто в геометрии и повседневной жизни приходится сталкиваться с необходимостью вычислить площадь сложных фигур, можно их разбить прямыми линиями наиболее простые, среди которых будет и трапеция. Сложив площади простых фигур, можно узнать площадь сложной, которая ими образуется.